[0272] n進数での最大値,対数

平成11年度秋期 (旧)第2情報処理技術者試験より
14けたの16進数の最大値は、10進数で表すと何けたか。ここで、log10 2 = 0.301とする。
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正解

解説

 16進数 14桁で表現できる最大の値は、FFFFFFFFFFFFFF(16) であり、
    FFFFFFFFFFFFFF(16) = 100000000000000(16) - 1(16) = 1614 - 1
と表現することもできます。これが 10進数 x桁のある数 10x と等しくなるので、
    10x = 1614 - 1
となります。1614 は、1の位が常に 6 となるため、1614 と 1614 - 1 の 10進数での桁数は同じになります。計算を単純にするために、近似値として右辺を 1614 として進めていきます。

 両辺に 10 を底とする対数をとると、
    log10 10x = log10 1614
    x = 14 log10 16
    x = 14 log10 24
    x = ( 14 × 4 )log10 2
    x = ( 14 × 4 )× 0.301
    x = 16.856
 よって、16進数 14桁の数字を 10進数で表現するには 16.856桁必要です。桁数は整数なので、ウの 17桁が正解となります。
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